Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58205 / 86619
↖ ↑ ↗
← S 49.998912°
W 20.135193°		 ← 196.33 m → S 49.998912°
W 20.132446°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 50.000678°
W 20.135193°		 ← 196.32 m →
38 549 m²		 S 50.000678°
W 20.132446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444072723388672 y=0.660854339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444072723388672 × 217)
    floor (0.444072723388672 × 131072)
    floor (58205.5)     		tx = 58205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660854339599609 × 217)
    floor (0.660854339599609 × 131072)
    floor (86619.5)     		ty = 86619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58205 / 86619 ti = "17/58205/86619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58205/86619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58205 ÷ 217
    58205 ÷ 131072     		x = 0.444068908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86619 ÷ 217
    86619 ÷ 131072     		y = 0.660850524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444068908691406 × 2 - 1) × π
    -0.111862182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35142541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660850524902344 × 2 - 1) × π
    -0.321701049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.01065365468964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35142541} λ = -0.35142541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01065365468964))-π/2
    2×atan(0.36398098391943)-π/2
    2×0.349075342548746-π/2
    0.698150685097491-1.57079632675     		φ = -0.87264564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35142541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.135193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87264564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.998912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58205 KachelY 86619 -0.35142541 -0.87264564 -20.135193 -49.998912
    Oben rechts KachelX + 1 58206 KachelY 86619 -0.35137747 -0.87264564 -20.132446 -49.998912
    Unten links KachelX 58205 KachelY + 1 86620 -0.35142541 -0.87267646 -20.135193 -50.000678
    Unten rechts KachelX + 1 58206 KachelY + 1 86620 -0.35137747 -0.87267646 -20.132446 -50.000678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87264564--0.87267646) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87264564--0.87267646) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35142541--0.35137747) × cos(-0.87264564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642802153688311 × 6371000     		do = 196.328323463718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35142541--0.35137747) × cos(-0.87267646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		du = 196.321112539481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87264564)-sin(-0.87267646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642802153688311-0.642778544269419)×R²
    abs(-0.35137747--0.35142541)×2.36094188927893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36094188927893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36094188927893e-05×40589641000000     		ar = 38549.1868729093m²