Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58204 / 86428
↖ ↑ ↗
← S 49.660517°
W 20.137940°		 ← 197.71 m → S 49.660517°
W 20.135193°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 49.662294°
W 20.137940°		 ← 197.70 m →
39 072 m²		 S 49.662294°
W 20.135193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444065093994141 y=0.659397125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444065093994141 × 217)
    floor (0.444065093994141 × 131072)
    floor (58204.5)     		tx = 58204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659397125244141 × 217)
    floor (0.659397125244141 × 131072)
    floor (86428.5)     		ty = 86428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58204 / 86428 ti = "17/58204/86428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58204/86428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58204 ÷ 217
    58204 ÷ 131072     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86428 ÷ 217
    86428 ÷ 131072     		y = 0.659393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.31878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00149770686221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00149770686221))-π/2
    2×atan(0.367328878001966)-π/2
    2×0.352028400858254-π/2
    0.704056801716508-1.57079632675     		φ = -0.86673953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86673953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.660517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58204 KachelY 86428 -0.35147335 -0.86673953 -20.137940 -49.660517
    Oben rechts KachelX + 1 58205 KachelY 86428 -0.35142541 -0.86673953 -20.135193 -49.660517
    Unten links KachelX 58204 KachelY + 1 86429 -0.35147335 -0.86677055 -20.137940 -49.662294
    Unten rechts KachelX + 1 58205 KachelY + 1 86429 -0.35142541 -0.86677055 -20.135193 -49.662294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86673953--0.86677055) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86673953--0.86677055) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35142541) × cos(-0.86673953) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647315186929566 × 6371000     		do = 197.7067199813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35142541) × cos(-0.86677055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64729154247803 × 6371000     		du = 197.699498357193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86673953)-sin(-0.86677055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647315186929566-0.64729154247803)×R²
    abs(-0.35142541--0.35147335)×2.36444515362422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36444515362422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36444515362422e-05×40589641000000     		ar = 39071.753097149m²