Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58203 / 39622
↖ ↑ ↗
← N 57.789161°
W 20.140686°		 ← 162.77 m → N 57.789161°
W 20.137940°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.787697°
W 20.140686°		 ← 162.78 m →
26 496 m²		 N 57.787697°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444057464599609 y=0.302295684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444057464599609 × 217)
    floor (0.444057464599609 × 131072)
    floor (58203.5)     		tx = 58203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302295684814453 × 217)
    floor (0.302295684814453 × 131072)
    floor (39622.5)     		ty = 39622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58203 / 39622 ti = "17/58203/39622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58203/39622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58203 ÷ 217
    58203 ÷ 131072     		x = 0.444053649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39622 ÷ 217
    39622 ÷ 131072     		y = 0.302291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444053649902344 × 2 - 1) × π
    -0.111892700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35152128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302291870117188 × 2 - 1) × π
    0.395416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24223681675414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35152128} λ = -0.35152128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24223681675414))-π/2
    2×atan(3.46335169012612)-π/2
    2×1.28970372722287-π/2
    2.57940745444574-1.57079632675     		φ = 1.00861113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35152128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.140686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00861113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.789161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58203 KachelY 39622 -0.35152128 1.00861113 -20.140686 57.789161
    Oben rechts KachelX + 1 58204 KachelY 39622 -0.35147335 1.00861113 -20.137940 57.789161
    Unten links KachelX 58203 KachelY + 1 39623 -0.35152128 1.00858558 -20.140686 57.787697
    Unten rechts KachelX + 1 58204 KachelY + 1 39623 -0.35147335 1.00858558 -20.137940 57.787697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00861113-1.00858558) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00861113-1.00858558) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35152128--0.35147335) × cos(1.00861113) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.533036347371356 × 6371000     		do = 162.769061097013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35152128--0.35147335) × cos(1.00858558) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.533057964856726 × 6371000     		du = 162.77566225623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00861113)-sin(1.00858558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533036347371356-0.533057964856726)×R²
    abs(-0.35147335--0.35152128)×2.16174853698847e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16174853698847e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16174853698847e-05×40589641000000     		ar = 26495.9304014206m²