Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58203 / 39067
↖ ↑ ↗
← N 58.592593°
W 20.140686°		 ← 159.13 m → N 58.592593°
W 20.137940°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.591161°
W 20.140686°		 ← 159.14 m →
25 326 m²		 N 58.591161°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444057464599609 y=0.298061370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444057464599609 × 217)
    floor (0.444057464599609 × 131072)
    floor (58203.5)     		tx = 58203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298061370849609 × 217)
    floor (0.298061370849609 × 131072)
    floor (39067.5)     		ty = 39067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58203 / 39067 ti = "17/58203/39067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58203/39067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58203 ÷ 217
    58203 ÷ 131072     		x = 0.444053649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39067 ÷ 217
    39067 ÷ 131072     		y = 0.298057556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444053649902344 × 2 - 1) × π
    -0.111892700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35152128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298057556152344 × 2 - 1) × π
    0.403884887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26884179604327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35152128} λ = -0.35152128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26884179604327))-π/2
    2×atan(3.5567307562353)-π/2
    2×1.29671499522907-π/2
    2.59342999045815-1.57079632675     		φ = 1.02263366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35152128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.140686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02263366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.592593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58203 KachelY 39067 -0.35152128 1.02263366 -20.140686 58.592593
    Oben rechts KachelX + 1 58204 KachelY 39067 -0.35147335 1.02263366 -20.137940 58.592593
    Unten links KachelX 58203 KachelY + 1 39068 -0.35152128 1.02260868 -20.140686 58.591161
    Unten rechts KachelX + 1 58204 KachelY + 1 39068 -0.35147335 1.02260868 -20.137940 58.591161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02263366-1.02260868) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dl = 159.147580000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02263366-1.02260868) × R
    2.49800000000633e-05 × 6371000     		dr = 159.147580000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35152128--0.35147335) × cos(1.02263366) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521119975957629 × 6371000     		do = 159.130253731886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35152128--0.35147335) × cos(1.02260868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521141295811197 × 6371000     		du = 159.136764005651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02263366)-sin(1.02260868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521119975957629-0.521141295811197)×R²
    abs(-0.35147335--0.35152128)×2.13198535682357e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13198535682357e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13198535682357e-05×40589641000000     		ar = 25325.7128347734m²