Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58202 / 86410
↖ ↑ ↗
← S 49.628504°
W 20.143433°		 ← 197.84 m → S 49.628504°
W 20.140686°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 49.630283°
W 20.143433°		 ← 197.83 m →
39 135 m²		 S 49.630283°
W 20.140686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444049835205078 y=0.659259796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444049835205078 × 217)
    floor (0.444049835205078 × 131072)
    floor (58202.5)     		tx = 58202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659259796142578 × 217)
    floor (0.659259796142578 × 131072)
    floor (86410.5)     		ty = 86410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58202 / 86410 ti = "17/58202/86410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58202/86410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58202 ÷ 217
    58202 ÷ 131072     		x = 0.444046020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86410 ÷ 217
    86410 ÷ 131072     		y = 0.659255981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.111907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35156922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659255981445312 × 2 - 1) × π
    -0.318511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00063484266905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35156922} λ = -0.35156922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00063484266905))-π/2
    2×atan(0.36764596972178)-π/2
    2×0.352307765251725-π/2
    0.70461553050345-1.57079632675     		φ = -0.86618080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35156922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.143433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86618080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.628504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58202 KachelY 86410 -0.35156922 -0.86618080 -20.143433 -49.628504
    Oben rechts KachelX + 1 58203 KachelY 86410 -0.35152128 -0.86618080 -20.140686 -49.628504
    Unten links KachelX 58202 KachelY + 1 86411 -0.35156922 -0.86621185 -20.143433 -49.630283
    Unten rechts KachelX + 1 58203 KachelY + 1 86411 -0.35152128 -0.86621185 -20.140686 -49.630283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86618080--0.86621185) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86618080--0.86621185) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35156922--0.35152128) × cos(-0.86618080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647740962412407 × 6371000     		do = 197.836762773221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35156922--0.35152128) × cos(-0.86621185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647717306327073 × 6371000     		du = 197.829537595852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86618080)-sin(-0.86621185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647740962412407-0.647717306327073)×R²
    abs(-0.35152128--0.35156922)×2.365608533339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.365608533339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.365608533339e-05×40589641000000     		ar = 39135.2647477713m²