Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58202 / 39066
↖ ↑ ↗
← N 58.594024°
W 20.143433°		 ← 159.16 m → N 58.594024°
W 20.140686°		 →
↑
159.15 m
↓
↑
159.15 m
↓
N 58.592593°
W 20.143433°		 ← 159.16 m →
25 330 m²		 N 58.592593°
W 20.140686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444049835205078 y=0.298053741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444049835205078 × 217)
    floor (0.444049835205078 × 131072)
    floor (58202.5)     		tx = 58202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298053741455078 × 217)
    floor (0.298053741455078 × 131072)
    floor (39066.5)     		ty = 39066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58202 / 39066 ti = "17/58202/39066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58202/39066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58202 ÷ 217
    58202 ÷ 131072     		x = 0.444046020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39066 ÷ 217
    39066 ÷ 131072     		y = 0.298049926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.111907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35156922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298049926757812 × 2 - 1) × π
    0.403900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26888973294289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35156922} λ = -0.35156922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26888973294289))-π/2
    2×atan(3.55690125896719)-π/2
    2×1.29672748541148-π/2
    2.59345497082295-1.57079632675     		φ = 1.02265864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35156922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.143433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02265864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.594024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58202 KachelY 39066 -0.35156922 1.02265864 -20.143433 58.594024
    Oben rechts KachelX + 1 58203 KachelY 39066 -0.35152128 1.02265864 -20.140686 58.594024
    Unten links KachelX 58202 KachelY + 1 39067 -0.35156922 1.02263366 -20.143433 58.592593
    Unten rechts KachelX + 1 58203 KachelY + 1 39067 -0.35152128 1.02263366 -20.140686 58.592593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02265864-1.02263366) × R
    2.49799999998412e-05 × 6371000     		dl = 159.147579998989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02265864-1.02263366) × R
    2.49799999998412e-05 × 6371000     		dr = 159.147579998989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35156922--0.35152128) × cos(1.02265864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521098655778882 × 6371000     		do = 159.15694255435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35156922--0.35152128) × cos(1.02263366) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521119975957629 × 6371000     		du = 159.163454285721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02265864)-sin(1.02263366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521098655778882-0.521119975957629)×R²
    abs(-0.35152128--0.35156922)×2.13201787472306e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13201787472306e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13201787472306e-05×40589641000000     		ar = 25329.9604120895m²