Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58201 / 86589
↖ ↑ ↗
← S 49.945918°
W 20.146179°		 ← 196.54 m → S 49.945918°
W 20.143433°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
S 49.947685°
W 20.146179°		 ← 196.54 m →
38 629 m²		 S 49.947685°
W 20.143433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444042205810547 y=0.660625457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444042205810547 × 217)
    floor (0.444042205810547 × 131072)
    floor (58201.5)     		tx = 58201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660625457763672 × 217)
    floor (0.660625457763672 × 131072)
    floor (86589.5)     		ty = 86589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58201 / 86589 ti = "17/58201/86589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58201/86589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58201 ÷ 217
    58201 ÷ 131072     		x = 0.444038391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86589 ÷ 217
    86589 ÷ 131072     		y = 0.660621643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444038391113281 × 2 - 1) × π
    -0.111923217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35161716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660621643066406 × 2 - 1) × π
    -0.321243286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00921554770104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35161716} λ = -0.35161716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00921554770104))-π/2
    2×atan(0.364504804080562)-π/2
    2×0.349537806303343-π/2
    0.699075612606686-1.57079632675     		φ = -0.87172071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35161716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.146179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87172071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.945918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58201 KachelY 86589 -0.35161716 -0.87172071 -20.146179 -49.945918
    Oben rechts KachelX + 1 58202 KachelY 86589 -0.35156922 -0.87172071 -20.143433 -49.945918
    Unten links KachelX 58201 KachelY + 1 86590 -0.35161716 -0.87175156 -20.146179 -49.947685
    Unten rechts KachelX + 1 58202 KachelY + 1 86590 -0.35156922 -0.87175156 -20.143433 -49.947685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87172071--0.87175156) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dl = 196.54535000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87172071--0.87175156) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dr = 196.54535000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35161716--0.35156922) × cos(-0.87172071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643510404828965 × 6371000     		do = 196.544641592457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35161716--0.35156922) × cos(-0.87175156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643486790780054 × 6371000     		du = 196.537429254094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87172071)-sin(-0.87175156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643510404828965-0.643486790780054)×R²
    abs(-0.35156922--0.35161716)×2.3614048910825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3614048910825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3614048910825e-05×40589641000000     		ar = 38629.2265998414m²