Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58200 / 86551
↖ ↑ ↗
← S 49.878708°
W 20.148926°		 ← 196.82 m → S 49.878708°
W 20.146179°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 49.880478°
W 20.148926°		 ← 196.81 m →
38 733 m²		 S 49.880478°
W 20.146179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444034576416016 y=0.660335540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444034576416016 × 217)
    floor (0.444034576416016 × 131072)
    floor (58200.5)     		tx = 58200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660335540771484 × 217)
    floor (0.660335540771484 × 131072)
    floor (86551.5)     		ty = 86551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58200 / 86551 ti = "17/58200/86551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58200/86551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58200 ÷ 217
    58200 ÷ 131072     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86551 ÷ 217
    86551 ÷ 131072     		y = 0.660331726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660331726074219 × 2 - 1) × π
    -0.320663452148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00739394551548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00739394551548))-π/2
    2×atan(0.365169391951911)-π/2
    2×0.350124324949003-π/2
    0.700248649898006-1.57079632675     		φ = -0.87054768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87054768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.878708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58200 KachelY 86551 -0.35166510 -0.87054768 -20.148926 -49.878708
    Oben rechts KachelX + 1 58201 KachelY 86551 -0.35161716 -0.87054768 -20.146179 -49.878708
    Unten links KachelX 58200 KachelY + 1 86552 -0.35166510 -0.87057857 -20.148926 -49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 58201 KachelY + 1 86552 -0.35161716 -0.87057857 -20.146179 -49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87054768--0.87057857) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87054768--0.87057857) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.87054768) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644407842879749 × 6371000     		do = 196.81874227345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.87057857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 196.811527710084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87054768)-sin(-0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644407842879749-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.35161716--0.35166510)×2.3621333833157e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3621333833157e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3621333833157e-05×40589641000000     		ar = 38733.2559643775m²