Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58200 / 86522
↖ ↑ ↗
← S 49.827353°
W 20.148926°		 ← 197.03 m → S 49.827353°
W 20.146179°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 49.829125°
W 20.148926°		 ← 197.02 m →
38 825 m²		 S 49.829125°
W 20.146179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444034576416016 y=0.660114288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444034576416016 × 217)
    floor (0.444034576416016 × 131072)
    floor (58200.5)     		tx = 58200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660114288330078 × 217)
    floor (0.660114288330078 × 131072)
    floor (86522.5)     		ty = 86522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58200 / 86522 ti = "17/58200/86522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58200/86522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58200 ÷ 217
    58200 ÷ 131072     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86522 ÷ 217
    86522 ÷ 131072     		y = 0.660110473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660110473632812 × 2 - 1) × π
    -0.320220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0060037754265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0060037754265))-π/2
    2×atan(0.365677392539813)-π/2
    2×0.350572481306251-π/2
    0.701144962612502-1.57079632675     		φ = -0.86965136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86965136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.827353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58200 KachelY 86522 -0.35166510 -0.86965136 -20.148926 -49.827353
    Oben rechts KachelX + 1 58201 KachelY 86522 -0.35161716 -0.86965136 -20.146179 -49.827353
    Unten links KachelX 58200 KachelY + 1 86523 -0.35166510 -0.86968229 -20.148926 -49.829125
    Unten rechts KachelX + 1 58201 KachelY + 1 86523 -0.35161716 -0.86968229 -20.146179 -49.829125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86965136--0.86968229) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86965136--0.86968229) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.86965136) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645092983685923 × 6371000     		do = 197.02800191118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.86968229) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645069349638217 × 6371000     		du = 197.02078346467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86965136)-sin(-0.86968229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645092983685923-0.645069349638217)×R²
    abs(-0.35161716--0.35166510)×2.36340477054453e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36340477054453e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36340477054453e-05×40589641000000     		ar = 38824.6476149758m²