Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 582 / 606
↖ ↑ ↗
← S 31.353637°
E 24.609375°		 ← 33.383 km → S 31.353637°
E 24.960937°		 →
↑
33.330 km
↓
↑
33.330 km
↓
S 31.653381°
E 24.609375°		 ← 33.277 km →
1 110.89 km²		 S 31.653381°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56884765625 y=0.59228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56884765625 × 210)
    floor (0.56884765625 × 1024)
    floor (582.5)     		tx = 582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59228515625 × 210)
    floor (0.59228515625 × 1024)
    floor (606.5)     		ty = 606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 582 / 606 ti = "10/582/606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/582/606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 582 ÷ 210
    582 ÷ 1024     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 606 ÷ 210
    606 ÷ 1024     		y = 0.591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591796875 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576776776228516))-π/2
    2×atan(0.561705955857573)-π/2
    2×0.511786064852429-π/2
    1.02357212970486-1.57079632675     		φ = -0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 582 KachelY 606 0.42951462 -0.54722420 24.609375 -31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 583 KachelY 606 0.43565054 -0.54722420 24.960937 -31.353637
    Unten links KachelX 582 KachelY + 1 607 0.42951462 -0.55245572 24.609375 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 583 KachelY + 1 607 0.43565054 -0.55245572 24.960937 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54722420--0.55245572) × R
    0.00523151999999993 × 6371000     		dl = 33330.0139199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54722420--0.55245572) × R
    0.00523151999999993 × 6371000     		dr = 33330.0139199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(-0.54722420) × R
    0.00613591999999996 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 33383.4319231538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(-0.55245572) × R
    0.00613591999999996 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 33276.5650278929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54722420)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.851238379268632)×R²
    abs(0.43565054-0.42951462)×0.00273373176116676×R²
    0.00613591999999996×0.00273373176116676×6371000²
    0.00613591999999996×0.00273373176116676×40589641000000     		ar = 1110891846.79211m²