Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 582 / 428
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
E 24.609375°		 ← 34.418 km → N 28.304381°
E 24.960937°		 →
↑
34.468 km
↓
↑
34.468 km
↓
N 27.994402°
E 24.609375°		 ← 34.518 km →
1 188.05 km²		 N 27.994402°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56884765625 y=0.41845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56884765625 × 210)
    floor (0.56884765625 × 1024)
    floor (582.5)     		tx = 582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41845703125 × 210)
    floor (0.41845703125 × 1024)
    floor (428.5)     		ty = 428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 582 / 428 ti = "10/582/428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/582/428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 582 ÷ 210
    582 ÷ 1024     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 428 ÷ 210
    428 ÷ 1024     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 582 KachelY 428 0.42951462 0.49400464 24.609375 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 583 KachelY 428 0.43565054 0.49400464 24.960937 28.304381
    Unten links KachelX 582 KachelY + 1 429 0.42951462 0.48859448 24.609375 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 583 KachelY + 1 429 0.43565054 0.48859448 24.960937 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.48859448) × R
    0.00541016 × 6371000     		dl = 34468.12936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.48859448) × R
    0.00541016 × 6371000     		dr = 34468.12936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(0.49400464) × R
    0.00613591999999996 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 34418.1562719661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(0.48859448) × R
    0.00613591999999996 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 34517.932977248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.882993460972506)×R²
    abs(0.43565054-0.42951462)×0.00255235962070466×R²
    0.00613591999999996×0.00255235962070466×6371000²
    0.00613591999999996×0.00255235962070466×40589641000000     		ar = 1188051918.74856m²