Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 582 / 425
↖ ↑ ↗
← N 29.228890°
E 24.609375°		 ← 34.115 km → N 29.228890°
E 24.960937°		 →
↑
34.166 km
↓
↑
34.166 km
↓
N 28.921631°
E 24.609375°		 ← 34.216 km →
1 167.29 km²		 N 28.921631°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56884765625 y=0.41552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56884765625 × 210)
    floor (0.56884765625 × 1024)
    floor (582.5)     		tx = 582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41552734375 × 210)
    floor (0.41552734375 × 1024)
    floor (425.5)     		ty = 425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 582 / 425 ti = "10/582/425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/582/425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 582 ÷ 210
    582 ÷ 1024     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 425 ÷ 210
    425 ÷ 1024     		y = 0.4150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533825314168945))-π/2
    2×atan(1.70544370457828)-π/2
    2×1.04046834725591-π/2
    2.08093669451182-1.57079632675     		φ = 0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 582 KachelY 425 0.42951462 0.51014037 24.609375 29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 583 KachelY 425 0.43565054 0.51014037 24.960937 29.228890
    Unten links KachelX 582 KachelY + 1 426 0.42951462 0.50477769 24.609375 28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 583 KachelY + 1 426 0.43565054 0.50477769 24.960937 28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51014037-0.50477769) × R
    0.00536268000000006 × 6371000     		dl = 34165.6342800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51014037-0.50477769) × R
    0.00536268000000006 × 6371000     		dr = 34165.6342800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(0.51014037) × R
    0.00613591999999996 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 34114.6023150245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43565054) × cos(0.50477769) × R
    0.00613591999999996 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 34216.4772728115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51014037)-sin(0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.875282008031053)×R²
    abs(0.43565054-0.42951462)×0.00260603442338569×R²
    0.00613591999999996×0.00260603442338569×6371000²
    0.00613591999999996×0.00260603442338569×40589641000000     		ar = 1167290135.02271m²