Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58199 / 86515
↖ ↑ ↗
← S 49.814949°
W 20.151672°		 ← 197.04 m → S 49.814949°
W 20.148926°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 49.816721°
W 20.151672°		 ← 197.03 m →
38 827 m²		 S 49.816721°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444026947021484 y=0.660060882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444026947021484 × 217)
    floor (0.444026947021484 × 131072)
    floor (58199.5)     		tx = 58199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660060882568359 × 217)
    floor (0.660060882568359 × 131072)
    floor (86515.5)     		ty = 86515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58199 / 86515 ti = "17/58199/86515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58199/86515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58199 ÷ 217
    58199 ÷ 131072     		x = 0.444023132324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86515 ÷ 217
    86515 ÷ 131072     		y = 0.660057067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444023132324219 × 2 - 1) × π
    -0.111953735351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35171303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660057067871094 × 2 - 1) × π
    -0.320114135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00566821712916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35171303} λ = -0.35171303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00566821712916))-π/2
    2×atan(0.365800119212854)-π/2
    2×0.35068072833324-π/2
    0.701361456666481-1.57079632675     		φ = -0.86943487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35171303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.151672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86943487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.814949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58199 KachelY 86515 -0.35171303 -0.86943487 -20.151672 -49.814949
    Oben rechts KachelX + 1 58200 KachelY 86515 -0.35166510 -0.86943487 -20.148926 -49.814949
    Unten links KachelX 58199 KachelY + 1 86516 -0.35171303 -0.86946580 -20.151672 -49.816721
    Unten rechts KachelX + 1 58200 KachelY + 1 86516 -0.35166510 -0.86946580 -20.148926 -49.816721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86943487--0.86946580) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86943487--0.86946580) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35171303--0.35166510) × cos(-0.86943487) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645258389459448 × 6371000     		do = 197.03741167976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35171303--0.35166510) × cos(-0.86946580) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645234759731783 × 6371000     		du = 197.030196058152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86943487)-sin(-0.86946580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645258389459448-0.645234759731783)×R²
    abs(-0.35166510--0.35171303)×2.36297276651198e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36297276651198e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36297276651198e-05×40589641000000     		ar = 38826.5021354635m²