Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58198 / 85786
↖ ↑ ↗
← S 48.505687°
W 20.154419°		 ← 202.36 m → S 48.505687°
W 20.151672°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 48.507507°
W 20.154419°		 ← 202.35 m →
40 945 m²		 S 48.507507°
W 20.151672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444019317626953 y=0.654499053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444019317626953 × 217)
    floor (0.444019317626953 × 131072)
    floor (58198.5)     		tx = 58198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654499053955078 × 217)
    floor (0.654499053955078 × 131072)
    floor (85786.5)     		ty = 85786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58198 / 85786 ti = "17/58198/85786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58198/85786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58198 ÷ 217
    58198 ÷ 131072     		x = 0.444015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85786 ÷ 217
    85786 ÷ 131072     		y = 0.654495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    -0.111968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35176097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654495239257812 × 2 - 1) × π
    -0.308990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970722217306137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35176097} λ = -0.35176097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970722217306137))-π/2
    2×atan(0.378809356613468)-π/2
    2×0.3621061904166-π/2
    0.7242123808332-1.57079632675     		φ = -0.84658395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35176097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.154419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84658395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.505687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58198 KachelY 85786 -0.35176097 -0.84658395 -20.154419 -48.505687
    Oben rechts KachelX + 1 58199 KachelY 85786 -0.35171303 -0.84658395 -20.151672 -48.505687
    Unten links KachelX 58198 KachelY + 1 85787 -0.35176097 -0.84661571 -20.154419 -48.507507
    Unten rechts KachelX + 1 58199 KachelY + 1 85787 -0.35171303 -0.84661571 -20.151672 -48.507507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84658395--0.84661571) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84658395--0.84661571) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35176097--0.35171303) × cos(-0.84658395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662545701522427 × 6371000     		do = 202.358511171408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35176097--0.35171303) × cos(-0.84661571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662521912265735 × 6371000     		du = 202.351245320079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84658395)-sin(-0.84661571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662545701522427-0.662521912265735)×R²
    abs(-0.35171303--0.35176097)×2.37892566919973e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37892566919973e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37892566919973e-05×40589641000000     		ar = 40945.0850382481m²