Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58196 / 38628
↖ ↑ ↗
← N 59.215311°
W 20.159912°		 ← 156.29 m → N 59.215311°
W 20.157166°		 →
↑
156.28 m
↓
↑
156.28 m
↓
N 59.213906°
W 20.159912°		 ← 156.29 m →
24 425 m²		 N 59.213906°
W 20.157166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444004058837891 y=0.294712066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444004058837891 × 217)
    floor (0.444004058837891 × 131072)
    floor (58196.5)     		tx = 58196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294712066650391 × 217)
    floor (0.294712066650391 × 131072)
    floor (38628.5)     		ty = 38628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58196 / 38628 ti = "17/58196/38628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58196/38628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58196 ÷ 217
    58196 ÷ 131072     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38628 ÷ 217
    38628 ÷ 131072     		y = 0.294708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294708251953125 × 2 - 1) × π
    0.41058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28988609497647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28988609497647))-π/2
    2×atan(3.63237278668034)-π/2
    2×1.30214924081155-π/2
    2.6042984816231-1.57079632675     		φ = 1.03350215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03350215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.215311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58196 KachelY 38628 -0.35185684 1.03350215 -20.159912 59.215311
    Oben rechts KachelX + 1 58197 KachelY 38628 -0.35180891 1.03350215 -20.157166 59.215311
    Unten links KachelX 58196 KachelY + 1 38629 -0.35185684 1.03347762 -20.159912 59.213906
    Unten rechts KachelX + 1 58197 KachelY + 1 38629 -0.35180891 1.03347762 -20.157166 59.213906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03350215-1.03347762) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dl = 156.280629999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03350215-1.03347762) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dr = 156.280629999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35180891) × cos(1.03350215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511813304314977 × 6371000     		do = 156.288349586725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35180891) × cos(1.03347762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511834377803064 × 6371000     		du = 156.294784629826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03350215)-sin(1.03347762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511813304314977-0.511834377803064)×R²
    abs(-0.35180891--0.35185684)×2.10734880868868e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10734880868868e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10734880868868e-05×40589641000000     		ar = 24425.3445725875m²