Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58196 / 28252
↖ ↑ ↗
← N 70.991928°
W 20.159912°		 ← 99.46 m → N 70.991928°
W 20.157166°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.991033°
W 20.159912°		 ← 99.46 m →
9 891 m²		 N 70.991033°
W 20.157166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444004058837891 y=0.215549468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444004058837891 × 217)
    floor (0.444004058837891 × 131072)
    floor (58196.5)     		tx = 58196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215549468994141 × 217)
    floor (0.215549468994141 × 131072)
    floor (28252.5)     		ty = 28252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58196 / 28252 ti = "17/58196/28252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58196/28252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58196 ÷ 217
    58196 ÷ 131072     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28252 ÷ 217
    28252 ÷ 131072     		y = 0.215545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215545654296875 × 2 - 1) × π
    0.56890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78727936543417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78727936543417))-π/2
    2×atan(5.97317950140571)-π/2
    2×1.40491960470506-π/2
    2.80983920941012-1.57079632675     		φ = 1.23904288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23904288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.991928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58196 KachelY 28252 -0.35185684 1.23904288 -20.159912 70.991928
    Oben rechts KachelX + 1 58197 KachelY 28252 -0.35180891 1.23904288 -20.157166 70.991928
    Unten links KachelX 58196 KachelY + 1 28253 -0.35185684 1.23902727 -20.159912 70.991033
    Unten rechts KachelX + 1 58197 KachelY + 1 28253 -0.35180891 1.23902727 -20.157166 70.991033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23904288-1.23902727) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23904288-1.23902727) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35180891) × cos(1.23904288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325701364312653 × 6371000     		do = 99.456829780342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35180891) × cos(1.23902727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325716123101774 × 6371000     		du = 99.4613365541485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23904288)-sin(1.23902727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325701364312653-0.325716123101774)×R²
    abs(-0.35180891--0.35185684)×1.47587891215495e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47587891215495e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47587891215495e-05×40589641000000     		ar = 9891.33611250704m²