Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58195 / 36181
↖ ↑ ↗
← N 62.485684°
W 20.162659°		 ← 141.10 m → N 62.485684°
W 20.159912°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
N 62.484415°
W 20.162659°		 ← 141.10 m →
19 903 m²		 N 62.484415°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443996429443359 y=0.276042938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443996429443359 × 217)
    floor (0.443996429443359 × 131072)
    floor (58195.5)     		tx = 58195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276042938232422 × 217)
    floor (0.276042938232422 × 131072)
    floor (36181.5)     		ty = 36181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58195 / 36181 ti = "17/58195/36181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58195/36181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58195 ÷ 217
    58195 ÷ 131072     		x = 0.443992614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36181 ÷ 217
    36181 ÷ 131072     		y = 0.276039123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443992614746094 × 2 - 1) × π
    -0.112014770507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35190478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276039123535156 × 2 - 1) × π
    0.447921752929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.40718768834675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35190478} λ = -0.35190478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40718768834675))-π/2
    2×atan(4.08445248343746)-π/2
    2×1.33068862579329-π/2
    2.66137725158658-1.57079632675     		φ = 1.09058092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35190478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.162659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09058092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.485684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58195 KachelY 36181 -0.35190478 1.09058092 -20.162659 62.485684
    Oben rechts KachelX + 1 58196 KachelY 36181 -0.35185684 1.09058092 -20.159912 62.485684
    Unten links KachelX 58195 KachelY + 1 36182 -0.35190478 1.09055878 -20.162659 62.484415
    Unten rechts KachelX + 1 58196 KachelY + 1 36182 -0.35185684 1.09055878 -20.159912 62.484415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09058092-1.09055878) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09058092-1.09055878) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35190478--0.35185684) × cos(1.09058092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461970229560114 × 6371000     		do = 141.097599221275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35190478--0.35185684) × cos(1.09055878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461989865311749 × 6371000     		du = 141.103596485249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09058092)-sin(1.09055878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461970229560114-0.461989865311749)×R²
    abs(-0.35185684--0.35190478)×1.96357516348833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96357516348833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96357516348833e-05×40589641000000     		ar = 19902.7952642497m²