Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58194 / 86450
↖ ↑ ↗
← S 49.699615°
W 20.165405°		 ← 197.55 m → S 49.699615°
W 20.162659°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.701391°
W 20.165405°		 ← 197.54 m →
39 015 m²		 S 49.701391°
W 20.162659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443988800048828 y=0.659564971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443988800048828 × 217)
    floor (0.443988800048828 × 131072)
    floor (58194.5)     		tx = 58194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659564971923828 × 217)
    floor (0.659564971923828 × 131072)
    floor (86450.5)     		ty = 86450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58194 / 86450 ti = "17/58194/86450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58194/86450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58194 ÷ 217
    58194 ÷ 131072     		x = 0.443984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86450 ÷ 217
    86450 ÷ 131072     		y = 0.659561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443984985351562 × 2 - 1) × π
    -0.112030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35195272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659561157226562 × 2 - 1) × π
    -0.319122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00255231865385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35195272} λ = -0.35195272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00255231865385))-π/2
    2×atan(0.366941692836721)-π/2
    2×0.35168720492159-π/2
    0.703374409843179-1.57079632675     		φ = -0.86742192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35195272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.165405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86742192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.699615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58194 KachelY 86450 -0.35195272 -0.86742192 -20.165405 -49.699615
    Oben rechts KachelX + 1 58195 KachelY 86450 -0.35190478 -0.86742192 -20.162659 -49.699615
    Unten links KachelX 58194 KachelY + 1 86451 -0.35195272 -0.86745292 -20.165405 -49.701391
    Unten rechts KachelX + 1 58195 KachelY + 1 86451 -0.35190478 -0.86745292 -20.162659 -49.701391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86742192--0.86745292) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86742192--0.86745292) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35195272--0.35190478) × cos(-0.86742192) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		do = 197.547811964345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35195272--0.35190478) × cos(-0.86745292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646771260391347 × 6371000     		du = 197.540590815859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86742192)-sin(-0.86745292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646794903285644-0.646771260391347)×R²
    abs(-0.35190478--0.35195272)×2.36428942972378e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36428942972378e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36428942972378e-05×40589641000000     		ar = 39015.1773219529m²