Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58192 / 86513
↖ ↑ ↗
← S 49.811404°
W 20.170898°		 ← 197.09 m → S 49.811404°
W 20.168152°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.813176°
W 20.170898°		 ← 197.09 m →
38 850 m²		 S 49.813176°
W 20.168152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443973541259766 y=0.660045623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443973541259766 × 217)
    floor (0.443973541259766 × 131072)
    floor (58192.5)     		tx = 58192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660045623779297 × 217)
    floor (0.660045623779297 × 131072)
    floor (86513.5)     		ty = 86513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58192 / 86513 ti = "17/58192/86513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58192/86513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58192 ÷ 217
    58192 ÷ 131072     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86513 ÷ 217
    86513 ÷ 131072     		y = 0.660041809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660041809082031 × 2 - 1) × π
    -0.320083618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00557234332992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00557234332992))-π/2
    2×atan(0.365835191541278)-π/2
    2×0.350711661152671-π/2
    0.701423322305342-1.57079632675     		φ = -0.86937300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86937300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.811404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58192 KachelY 86513 -0.35204859 -0.86937300 -20.170898 -49.811404
    Oben rechts KachelX + 1 58193 KachelY 86513 -0.35200065 -0.86937300 -20.168152 -49.811404
    Unten links KachelX 58192 KachelY + 1 86514 -0.35204859 -0.86940394 -20.170898 -49.813176
    Unten rechts KachelX + 1 58193 KachelY + 1 86514 -0.35200065 -0.86940394 -20.168152 -49.813176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86937300--0.86940394) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86937300--0.86940394) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35200065) × cos(-0.86937300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645305654702112 × 6371000     		do = 197.092957113448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35200065) × cos(-0.86940394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		du = 197.085738030251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86937300)-sin(-0.86940394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645305654702112-0.645282018569817)×R²
    abs(-0.35200065--0.35204859)×2.36361322952794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36361322952794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36361322952794e-05×40589641000000     		ar = 38850.0038638824m²