Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58192 / 38903
↖ ↑ ↗
← N 58.826539°
W 20.170898°		 ← 158.10 m → N 58.826539°
W 20.168152°		 →
↑
158.06 m
↓
↑
158.06 m
↓
N 58.825118°
W 20.170898°		 ← 158.10 m →
24 990 m²		 N 58.825118°
W 20.168152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443973541259766 y=0.296810150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443973541259766 × 217)
    floor (0.443973541259766 × 131072)
    floor (58192.5)     		tx = 58192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296810150146484 × 217)
    floor (0.296810150146484 × 131072)
    floor (38903.5)     		ty = 38903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58192 / 38903 ti = "17/58192/38903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58192/38903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58192 ÷ 217
    58192 ÷ 131072     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38903 ÷ 217
    38903 ÷ 131072     		y = 0.296806335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296806335449219 × 2 - 1) × π
    0.406387329101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27670344758096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27670344758096))-π/2
    2×atan(3.58480273553023)-π/2
    2×1.29875656443629-π/2
    2.59751312887258-1.57079632675     		φ = 1.02671680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02671680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.826539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58192 KachelY 38903 -0.35204859 1.02671680 -20.170898 58.826539
    Oben rechts KachelX + 1 58193 KachelY 38903 -0.35200065 1.02671680 -20.168152 58.826539
    Unten links KachelX 58192 KachelY + 1 38904 -0.35204859 1.02669199 -20.170898 58.825118
    Unten rechts KachelX + 1 58193 KachelY + 1 38904 -0.35200065 1.02669199 -20.168152 58.825118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02671680-1.02669199) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dl = 158.064509999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02671680-1.02669199) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dr = 158.064509999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35200065) × cos(1.02671680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517630749237281 × 6371000     		do = 158.097754632447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35200065) × cos(1.02669199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517651976616146 × 6371000     		du = 158.104238020345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02671680)-sin(1.02669199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517630749237281-0.517651976616146)×R²
    abs(-0.35200065--0.35204859)×2.12273788654516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12273788654516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12273788654516e-05×40589641000000     		ar = 24990.1565161996m²