Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58191 / 38647
↖ ↑ ↗
← N 59.188592°
W 20.173645°		 ← 156.44 m → N 59.188592°
W 20.170898°		 →
↑
156.41 m
↓
↑
156.41 m
↓
N 59.187185°
W 20.173645°		 ← 156.45 m →
24 469 m²		 N 59.187185°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443965911865234 y=0.294857025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443965911865234 × 217)
    floor (0.443965911865234 × 131072)
    floor (58191.5)     		tx = 58191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294857025146484 × 217)
    floor (0.294857025146484 × 131072)
    floor (38647.5)     		ty = 38647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58191 / 38647 ti = "17/58191/38647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58191/38647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58191 ÷ 217
    58191 ÷ 131072     		x = 0.443962097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38647 ÷ 217
    38647 ÷ 131072     		y = 0.294853210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443962097167969 × 2 - 1) × π
    -0.112075805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35209653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294853210449219 × 2 - 1) × π
    0.410293579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28897529388369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35209653} λ = -0.35209653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28897529388369))-π/2
    2×atan(3.62906592375263)-π/2
    2×1.30191606955103-π/2
    2.60383213910206-1.57079632675     		φ = 1.03303581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35209653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.173645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03303581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.188592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58191 KachelY 38647 -0.35209653 1.03303581 -20.173645 59.188592
    Oben rechts KachelX + 1 58192 KachelY 38647 -0.35204859 1.03303581 -20.170898 59.188592
    Unten links KachelX 58191 KachelY + 1 38648 -0.35209653 1.03301126 -20.173645 59.187185
    Unten rechts KachelX + 1 58192 KachelY + 1 38648 -0.35204859 1.03301126 -20.170898 59.187185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03303581-1.03301126) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dl = 156.408050000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03303581-1.03301126) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dr = 156.408050000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35209653--0.35204859) × cos(1.03303581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512213879803176 × 6371000     		do = 156.443303277235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35209653--0.35204859) × cos(1.03301126) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512234964610962 × 6371000     		du = 156.449743120255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03303581)-sin(1.03301126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512213879803176-0.512234964610962)×R²
    abs(-0.35204859--0.35209653)×2.10848077861758e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10848077861758e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10848077861758e-05×40589641000000     		ar = 24469.4956239172m²