Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5819 / 2871
↖ ↑ ↗
← N 81.428683°
W116.070557°		 ← 182.07 m → N 81.428683°
W116.059570°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 81.427045°
W116.070557°		 ← 182.11 m →
33 167 m²		 N 81.427045°
W116.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177597045898438 y=0.0876312255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177597045898438 × 215)
    floor (0.177597045898438 × 32768)
    floor (5819.5)     		tx = 5819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876312255859375 × 215)
    floor (0.0876312255859375 × 32768)
    floor (2871.5)     		ty = 2871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5819 / 2871 ti = "15/5819/2871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5819/2871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5819 ÷ 215
    5819 ÷ 32768     		x = 0.177581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2871 ÷ 215
    2871 ÷ 32768     		y = 0.087615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.64483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.02581338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087615966796875 × 2 - 1) × π
    0.82476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59108529826328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02581338} λ = -2.02581338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59108529826328))-π/2
    2×atan(13.3442462343919)-π/2
    2×1.4959974711521-π/2
    2.99199494230419-1.57079632675     		φ = 1.42119862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02581338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42119862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.428683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5819 KachelY 2871 -2.02581338 1.42119862 -116.070557 81.428683
    Oben rechts KachelX + 1 5820 KachelY 2871 -2.02562163 1.42119862 -116.059570 81.428683
    Unten links KachelX 5819 KachelY + 1 2872 -2.02581338 1.42117003 -116.070557 81.427045
    Unten rechts KachelX + 1 5820 KachelY + 1 2872 -2.02562163 1.42117003 -116.059570 81.427045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42119862-1.42117003) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42119862-1.42117003) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02581338--2.02562163) × cos(1.42119862) × R
    0.000191750000000379 × 0.149040344505752 × 6371000     		do = 182.073534682108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02581338--2.02562163) × cos(1.42117003) × R
    0.000191750000000379 × 0.149068615126439 × 6371000     		du = 182.108071181961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42119862)-sin(1.42117003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149040344505752-0.149068615126439)×R²
    abs(-2.02562163--2.02581338)×2.82706206868322e-05×R²
    0.000191750000000379×2.82706206868322e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.82706206868322e-05×40589641000000     		ar = 33167.2734541413m²