Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58188 / 28245
↖ ↑ ↗
← N 70.998189°
W 20.181885°		 ← 99.45 m → N 70.998189°
W 20.179138°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.997295°
W 20.181885°		 ← 99.45 m →
9 890 m²		 N 70.997295°
W 20.179138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443943023681641 y=0.215496063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443943023681641 × 217)
    floor (0.443943023681641 × 131072)
    floor (58188.5)     		tx = 58188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215496063232422 × 217)
    floor (0.215496063232422 × 131072)
    floor (28245.5)     		ty = 28245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58188 / 28245 ti = "17/58188/28245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58188/28245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58188 ÷ 217
    58188 ÷ 131072     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28245 ÷ 217
    28245 ÷ 131072     		y = 0.215492248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215492248535156 × 2 - 1) × π
    0.569015502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78761492373151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78761492373151))-π/2
    2×atan(5.97518418767465)-π/2
    2×1.40497424193457-π/2
    2.80994848386914-1.57079632675     		φ = 1.23915216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23915216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.998189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58188 KachelY 28245 -0.35224034 1.23915216 -20.181885 70.998189
    Oben rechts KachelX + 1 58189 KachelY 28245 -0.35219240 1.23915216 -20.179138 70.998189
    Unten links KachelX 58188 KachelY + 1 28246 -0.35224034 1.23913655 -20.181885 70.997295
    Unten rechts KachelX + 1 58189 KachelY + 1 28246 -0.35219240 1.23913655 -20.179138 70.997295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23915216-1.23913655) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23915216-1.23913655) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35219240) × cos(1.23915216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325598041111718 × 6371000     		do = 99.4460226490318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35219240) × cos(1.23913655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325612800456366 × 6371000     		du = 99.4505305327926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23915216)-sin(1.23913655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325598041111718-0.325612800456366)×R²
    abs(-0.35219240--0.35224034)×1.47593446472305e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47593446472305e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47593446472305e-05×40589641000000     		ar = 9890.2613843221m²