Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58187 / 86099
↖ ↑ ↗
← S 49.072066°
W 20.184632°		 ← 200.09 m → S 49.072066°
W 20.181885°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
S 49.073866°
W 20.184632°		 ← 200.08 m →
40 039 m²		 S 49.073866°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443935394287109 y=0.656887054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443935394287109 × 217)
    floor (0.443935394287109 × 131072)
    floor (58187.5)     		tx = 58187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656887054443359 × 217)
    floor (0.656887054443359 × 131072)
    floor (86099.5)     		ty = 86099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58187 / 86099 ti = "17/58187/86099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58187/86099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58187 ÷ 217
    58187 ÷ 131072     		x = 0.443931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86099 ÷ 217
    86099 ÷ 131072     		y = 0.656883239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443931579589844 × 2 - 1) × π
    -0.112136840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35228828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656883239746094 × 2 - 1) × π
    -0.313766479492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.985726466887215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35228828} λ = -0.35228828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985726466887215))-π/2
    2×atan(0.373168034222095)-π/2
    2×0.357163596745389-π/2
    0.714327193490778-1.57079632675     		φ = -0.85646913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35228828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.184632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85646913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.072066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58187 KachelY 86099 -0.35228828 -0.85646913 -20.184632 -49.072066
    Oben rechts KachelX + 1 58188 KachelY 86099 -0.35224034 -0.85646913 -20.181885 -49.072066
    Unten links KachelX 58187 KachelY + 1 86100 -0.35228828 -0.85650054 -20.184632 -49.073866
    Unten rechts KachelX + 1 58188 KachelY + 1 86100 -0.35224034 -0.85650054 -20.181885 -49.073866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85646913--0.85650054) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85646913--0.85650054) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35228828--0.35224034) × cos(-0.85646913) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655109239195383 × 6371000     		do = 200.087224162187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35228828--0.35224034) × cos(-0.85650054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65508550754389 × 6371000     		du = 200.079975904969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85646913)-sin(-0.85650054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655109239195383-0.65508550754389)×R²
    abs(-0.35224034--0.35228828)×2.3731651493053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3731651493053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3731651493053e-05×40589641000000     		ar = 40039.3514659252m²