Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58185 / 86722
↖ ↑ ↗
← S 50.180416°
W 20.190125°		 ← 195.59 m → S 50.180416°
W 20.187378°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
S 50.182174°
W 20.190125°		 ← 195.58 m →
38 241 m²		 S 50.182174°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443920135498047 y=0.661640167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		tx = 58185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661640167236328 × 217)
    floor (0.661640167236328 × 131072)
    floor (86722.5)     		ty = 86722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58185 / 86722 ti = "17/58185/86722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58185/86722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		x = 0.443916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86722 ÷ 217
    86722 ÷ 131072     		y = 0.661636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    -0.112167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35238415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661636352539062 × 2 - 1) × π
    -0.323272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01559115535051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35238415} λ = -0.35238415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01559115535051))-π/2
    2×atan(0.362188257008)-π/2
    2×0.347491424482097-π/2
    0.694982848964193-1.57079632675     		φ = -0.87581348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35238415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.190125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87581348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.180416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58185 KachelY 86722 -0.35238415 -0.87581348 -20.190125 -50.180416
    Oben rechts KachelX + 1 58186 KachelY 86722 -0.35233621 -0.87581348 -20.187378 -50.180416
    Unten links KachelX 58185 KachelY + 1 86723 -0.35238415 -0.87584417 -20.190125 -50.182174
    Unten rechts KachelX + 1 58186 KachelY + 1 86723 -0.35233621 -0.87584417 -20.187378 -50.182174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87581348--0.87584417) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87581348--0.87584417) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.87581348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640372264854259 × 6371000     		do = 195.586172868686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.87584417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640348692647463 × 6371000     		du = 195.578973309982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87581348)-sin(-0.87584417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640372264854259-0.640348692647463)×R²
    abs(-0.35233621--0.35238415)×2.35722067958299e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35722067958299e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35722067958299e-05×40589641000000     		ar = 38241.4762331245m²