Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58185 / 86103
↖ ↑ ↗
← S 49.079263°
W 20.190125°		 ← 200.06 m → S 49.079263°
W 20.187378°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 49.081062°
W 20.190125°		 ← 200.05 m →
40 021 m²		 S 49.081062°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443920135498047 y=0.656917572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		tx = 58185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656917572021484 × 217)
    floor (0.656917572021484 × 131072)
    floor (86103.5)     		ty = 86103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58185 / 86103 ti = "17/58185/86103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58185/86103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		x = 0.443916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86103 ÷ 217
    86103 ÷ 131072     		y = 0.656913757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    -0.112167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35238415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656913757324219 × 2 - 1) × π
    -0.313827514648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.985918214485695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35238415} λ = -0.35238415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985918214485695))-π/2
    2×atan(0.373096487007426)-π/2
    2×0.357100793483437-π/2
    0.714201586966874-1.57079632675     		φ = -0.85659474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35238415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.190125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85659474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.079263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58185 KachelY 86103 -0.35238415 -0.85659474 -20.190125 -49.079263
    Oben rechts KachelX + 1 58186 KachelY 86103 -0.35233621 -0.85659474 -20.187378 -49.079263
    Unten links KachelX 58185 KachelY + 1 86104 -0.35238415 -0.85662614 -20.190125 -49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 58186 KachelY + 1 86104 -0.35233621 -0.85662614 -20.187378 -49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85659474--0.85662614) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85659474--0.85662614) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.85659474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655014331380201 × 6371000     		do = 200.058236872504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.85662614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 200.05099013384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85659474)-sin(-0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655014331380201-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.35233621--0.35238415)×2.37266795634072e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37266795634072e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37266795634072e-05×40589641000000     		ar = 40020.8054019122m²