Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58185 / 86101
↖ ↑ ↗
← S 49.075665°
W 20.190125°		 ← 200.07 m → S 49.075665°
W 20.187378°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 49.077464°
W 20.190125°		 ← 200.07 m →
40 024 m²		 S 49.077464°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443920135498047 y=0.656902313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		tx = 58185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656902313232422 × 217)
    floor (0.656902313232422 × 131072)
    floor (86101.5)     		ty = 86101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58185 / 86101 ti = "17/58185/86101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58185/86101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		x = 0.443916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86101 ÷ 217
    86101 ÷ 131072     		y = 0.656898498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    -0.112167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35238415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656898498535156 × 2 - 1) × π
    -0.313796997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.985822340686455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35238415} λ = -0.35238415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985822340686455))-π/2
    2×atan(0.373132258899884)-π/2
    2×0.357132193977048-π/2
    0.714264387954096-1.57079632675     		φ = -0.85653194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35238415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.190125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85653194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.075665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58185 KachelY 86101 -0.35238415 -0.85653194 -20.190125 -49.075665
    Oben rechts KachelX + 1 58186 KachelY 86101 -0.35233621 -0.85653194 -20.187378 -49.075665
    Unten links KachelX 58185 KachelY + 1 86102 -0.35238415 -0.85656334 -20.190125 -49.077464
    Unten rechts KachelX + 1 58186 KachelY + 1 86102 -0.35233621 -0.85656334 -20.187378 -49.077464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85653194--0.85656334) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85653194--0.85656334) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.85653194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655061782801851 × 6371000     		do = 200.072729758075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.85656334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655038057413947 × 6371000     		du = 200.065483413918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85653194)-sin(-0.85656334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655061782801851-0.655038057413947)×R²
    abs(-0.35233621--0.35238415)×2.37253879041832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37253879041832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37253879041832e-05×40589641000000     		ar = 40023.7047344088m²