Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58184 / 86600
↖ ↑ ↗
← S 49.965356°
W 20.192871°		 ← 196.47 m → S 49.965356°
W 20.190125°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.967123°
W 20.192871°		 ← 196.46 m →
38 601 m²		 S 49.967123°
W 20.190125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443912506103516 y=0.660709381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443912506103516 × 217)
    floor (0.443912506103516 × 131072)
    floor (58184.5)     		tx = 58184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660709381103516 × 217)
    floor (0.660709381103516 × 131072)
    floor (86600.5)     		ty = 86600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58184 / 86600 ti = "17/58184/86600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58184/86600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58184 ÷ 217
    58184 ÷ 131072     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86600 ÷ 217
    86600 ÷ 131072     		y = 0.66070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00974285359686))-π/2
    2×atan(0.364312649214964)-π/2
    2×0.349368177127335-π/2
    0.69873635425467-1.57079632675     		φ = -0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58184 KachelY 86600 -0.35243209 -0.87205997 -20.192871 -49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 58185 KachelY 86600 -0.35238415 -0.87205997 -20.190125 -49.965356
    Unten links KachelX 58184 KachelY + 1 86601 -0.35243209 -0.87209081 -20.192871 -49.967123
    Unten rechts KachelX + 1 58185 KachelY + 1 86601 -0.35238415 -0.87209081 -20.190125 -49.967123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87205997--0.87209081) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87205997--0.87209081) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(-0.87205997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 196.465316630483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(-0.87209081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643227072394754 × 6371000     		du = 196.458104574073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87205997)-sin(-0.87209081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.643227072394754)×R²
    abs(-0.35238415--0.35243209)×2.36131257632666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36131257632666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36131257632666e-05×40589641000000     		ar = 38601.1190993631m²