Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58184 / 86104
↖ ↑ ↗
← S 49.081062°
W 20.192871°		 ← 200.05 m → S 49.081062°
W 20.190125°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
S 49.082862°
W 20.192871°		 ← 200.04 m →
40 019 m²		 S 49.082862°
W 20.190125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443912506103516 y=0.656925201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443912506103516 × 217)
    floor (0.443912506103516 × 131072)
    floor (58184.5)     		tx = 58184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656925201416016 × 217)
    floor (0.656925201416016 × 131072)
    floor (86104.5)     		ty = 86104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58184 / 86104 ti = "17/58184/86104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58184/86104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58184 ÷ 217
    58184 ÷ 131072     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86104 ÷ 217
    86104 ÷ 131072     		y = 0.65692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985966151385315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985966151385315))-π/2
    2×atan(0.37307860234725)-π/2
    2×0.357085094089643-π/2
    0.714170188179285-1.57079632675     		φ = -0.85662614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85662614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.081062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58184 KachelY 86104 -0.35243209 -0.85662614 -20.192871 -49.081062
    Oben rechts KachelX + 1 58185 KachelY 86104 -0.35238415 -0.85662614 -20.190125 -49.081062
    Unten links KachelX 58184 KachelY + 1 86105 -0.35243209 -0.85665754 -20.192871 -49.082862
    Unten rechts KachelX + 1 58185 KachelY + 1 86105 -0.35238415 -0.85665754 -20.190125 -49.082862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85662614--0.85665754) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85662614--0.85665754) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(-0.85662614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		do = 200.050990133609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(-0.85665754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65496687737528 × 6371000     		du = 200.043743197703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85662614)-sin(-0.85665754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654990604700638-0.65496687737528)×R²
    abs(-0.35238415--0.35243209)×2.37273253579362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37273253579362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37273253579362e-05×40589641000000     		ar = 40019.355676316m²