Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58184 / 38602
↖ ↑ ↗
← N 59.251841°
W 20.192871°		 ← 156.15 m → N 59.251841°
W 20.190125°		 →
↑
156.15 m
↓
↑
156.15 m
↓
N 59.250437°
W 20.192871°		 ← 156.16 m →
24 384 m²		 N 59.250437°
W 20.190125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443912506103516 y=0.294513702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443912506103516 × 217)
    floor (0.443912506103516 × 131072)
    floor (58184.5)     		tx = 58184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294513702392578 × 217)
    floor (0.294513702392578 × 131072)
    floor (38602.5)     		ty = 38602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58184 / 38602 ti = "17/58184/38602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58184/38602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58184 ÷ 217
    58184 ÷ 131072     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38602 ÷ 217
    38602 ÷ 131072     		y = 0.294509887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294509887695312 × 2 - 1) × π
    0.410980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29113245436659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29113245436659))-π/2
    2×atan(3.63690285106916)-π/2
    2×1.30246802174954-π/2
    2.60493604349907-1.57079632675     		φ = 1.03413972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03413972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.251841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58184 KachelY 38602 -0.35243209 1.03413972 -20.192871 59.251841
    Oben rechts KachelX + 1 58185 KachelY 38602 -0.35238415 1.03413972 -20.190125 59.251841
    Unten links KachelX 58184 KachelY + 1 38603 -0.35243209 1.03411521 -20.192871 59.250437
    Unten rechts KachelX + 1 58185 KachelY + 1 38603 -0.35238415 1.03411521 -20.190125 59.250437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03413972-1.03411521) × R
    2.45100000000331e-05 × 6371000     		dl = 156.153210000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03413972-1.03411521) × R
    2.45100000000331e-05 × 6371000     		dr = 156.153210000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(1.03413972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511265466043581 × 6371000     		do = 156.153633302703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35238415) × cos(1.03411521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511286530343895 × 6371000     		du = 156.160066882214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03413972)-sin(1.03411521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511265466043581-0.511286530343895)×R²
    abs(-0.35238415--0.35243209)×2.10643003133448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10643003133448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10643003133448e-05×40589641000000     		ar = 24384.3934066382m²