Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58183 / 38604
↖ ↑ ↗
← N 59.249033°
W 20.195618°		 ← 156.13 m → N 59.249033°
W 20.192871°		 →
↑
156.15 m
↓
↑
156.15 m
↓
N 59.247628°
W 20.195618°		 ← 156.14 m →
24 381 m²		 N 59.247628°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443904876708984 y=0.294528961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443904876708984 × 217)
    floor (0.443904876708984 × 131072)
    floor (58183.5)     		tx = 58183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294528961181641 × 217)
    floor (0.294528961181641 × 131072)
    floor (38604.5)     		ty = 38604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58183 / 38604 ti = "17/58183/38604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58183/38604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58183 ÷ 217
    58183 ÷ 131072     		x = 0.443901062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38604 ÷ 217
    38604 ÷ 131072     		y = 0.294525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443901062011719 × 2 - 1) × π
    -0.112197875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35248002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294525146484375 × 2 - 1) × π
    0.41094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29103658056735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35248002} λ = -0.35248002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29103658056735))-π/2
    2×atan(3.63655418408964)-π/2
    2×1.30244351225836-π/2
    2.60488702451671-1.57079632675     		φ = 1.03409070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35248002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.195618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03409070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.249033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58183 KachelY 38604 -0.35248002 1.03409070 -20.195618 59.249033
    Oben rechts KachelX + 1 58184 KachelY 38604 -0.35243209 1.03409070 -20.192871 59.249033
    Unten links KachelX 58183 KachelY + 1 38605 -0.35248002 1.03406619 -20.195618 59.247628
    Unten rechts KachelX + 1 58184 KachelY + 1 38605 -0.35243209 1.03406619 -20.192871 59.247628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03409070-1.03406619) × R
    2.45099999998111e-05 × 6371000     		dl = 156.153209998796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03409070-1.03406619) × R
    2.45099999998111e-05 × 6371000     		dr = 156.153209998796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35248002--0.35243209) × cos(1.03409070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511307594337058 × 6371000     		do = 156.133924961276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35248002--0.35243209) × cos(1.03406619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511328658023058 × 6371000     		du = 156.140357011192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03409070)-sin(1.03406619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511307594337058-0.511328658023058)×R²
    abs(-0.35243209--0.35248002)×2.10636859998559e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10636859998559e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10636859998559e-05×40589641000000     		ar = 24381.3157661879m²