Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58182 / 86105
↖ ↑ ↗
← S 49.082862°
W 20.198364°		 ← 200.04 m → S 49.082862°
W 20.195618°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
S 49.084660°
W 20.198364°		 ← 200.04 m →
40 005 m²		 S 49.084660°
W 20.195618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443897247314453 y=0.656932830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443897247314453 × 217)
    floor (0.443897247314453 × 131072)
    floor (58182.5)     		tx = 58182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656932830810547 × 217)
    floor (0.656932830810547 × 131072)
    floor (86105.5)     		ty = 86105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58182 / 86105 ti = "17/58182/86105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58182/86105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58182 ÷ 217
    58182 ÷ 131072     		x = 0.443893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86105 ÷ 217
    86105 ÷ 131072     		y = 0.656929016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443893432617188 × 2 - 1) × π
    -0.112213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35252796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656929016113281 × 2 - 1) × π
    -0.313858032226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.986014088284935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35252796} λ = -0.35252796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986014088284935))-π/2
    2×atan(0.37306071854439)-π/2
    2×0.357069395264516-π/2
    0.714138790529031-1.57079632675     		φ = -0.85665754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35252796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.198364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85665754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.082862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58182 KachelY 86105 -0.35252796 -0.85665754 -20.198364 -49.082862
    Oben rechts KachelX + 1 58183 KachelY 86105 -0.35248002 -0.85665754 -20.195618 -49.082862
    Unten links KachelX 58182 KachelY + 1 86106 -0.35252796 -0.85668893 -20.198364 -49.084660
    Unten rechts KachelX + 1 58183 KachelY + 1 86106 -0.35248002 -0.85668893 -20.195618 -49.084660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85665754--0.85668893) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85665754--0.85668893) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35252796--0.35248002) × cos(-0.85665754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65496687737528 × 6371000     		do = 200.043743197703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35252796--0.35248002) × cos(-0.85668893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		du = 200.036498372598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85665754)-sin(-0.85668893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65496687737528-0.654943156960932)×R²
    abs(-0.35248002--0.35252796)×2.37204143475056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37204143475056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37204143475056e-05×40589641000000     		ar = 40005.1615861695m²