Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58182 / 38635
↖ ↑ ↗
← N 59.205470°
W 20.198364°		 ← 156.37 m → N 59.205470°
W 20.195618°		 →
↑
156.41 m
↓
↑
156.41 m
↓
N 59.204064°
W 20.198364°		 ← 156.37 m →
24 457 m²		 N 59.204064°
W 20.195618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443897247314453 y=0.294765472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443897247314453 × 217)
    floor (0.443897247314453 × 131072)
    floor (58182.5)     		tx = 58182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294765472412109 × 217)
    floor (0.294765472412109 × 131072)
    floor (38635.5)     		ty = 38635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58182 / 38635 ti = "17/58182/38635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58182/38635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58182 ÷ 217
    58182 ÷ 131072     		x = 0.443893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38635 ÷ 217
    38635 ÷ 131072     		y = 0.294761657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443893432617188 × 2 - 1) × π
    -0.112213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35252796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294761657714844 × 2 - 1) × π
    0.410476684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28955053667913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35252796} λ = -0.35252796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28955053667913))-π/2
    2×atan(3.6311541183313)-π/2
    2×1.3020633568336-π/2
    2.60412671366719-1.57079632675     		φ = 1.03333039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35252796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.198364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03333039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.205470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58182 KachelY 38635 -0.35252796 1.03333039 -20.198364 59.205470
    Oben rechts KachelX + 1 58183 KachelY 38635 -0.35248002 1.03333039 -20.195618 59.205470
    Unten links KachelX 58182 KachelY + 1 38636 -0.35252796 1.03330584 -20.198364 59.204064
    Unten rechts KachelX + 1 58183 KachelY + 1 38636 -0.35248002 1.03330584 -20.195618 59.204064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03333039-1.03330584) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dl = 156.408050000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03333039-1.03330584) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dr = 156.408050000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35252796--0.35248002) × cos(1.03333039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511960855213971 × 6371000     		do = 156.366023054657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35252796--0.35248002) × cos(1.03330584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511981943725218 × 6371000     		du = 156.372464028811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03333039)-sin(1.03330584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511960855213971-0.511981943725218)×R²
    abs(-0.35248002--0.35252796)×2.10885112470471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10885112470471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10885112470471e-05×40589641000000     		ar = 24457.4084635707m²