Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58181 / 38849
↖ ↑ ↗
← N 58.903227°
W 20.201111°		 ← 157.75 m → N 58.903227°
W 20.198364°		 →
↑
157.75 m
↓
↑
157.75 m
↓
N 58.901808°
W 20.201111°		 ← 157.75 m →
24 885 m²		 N 58.901808°
W 20.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443889617919922 y=0.296398162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443889617919922 × 217)
    floor (0.443889617919922 × 131072)
    floor (58181.5)     		tx = 58181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296398162841797 × 217)
    floor (0.296398162841797 × 131072)
    floor (38849.5)     		ty = 38849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58181 / 38849 ti = "17/58181/38849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58181/38849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58181 ÷ 217
    58181 ÷ 131072     		x = 0.443885803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38849 ÷ 217
    38849 ÷ 131072     		y = 0.296394348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443885803222656 × 2 - 1) × π
    -0.112228393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35257590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296394348144531 × 2 - 1) × π
    0.407211303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27929204016044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35257590} λ = -0.35257590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27929204016044))-π/2
    2×atan(3.59409435020429)-π/2
    2×1.29942579041412-π/2
    2.59885158082823-1.57079632675     		φ = 1.02805525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35257590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.201111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02805525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.903227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58181 KachelY 38849 -0.35257590 1.02805525 -20.201111 58.903227
    Oben rechts KachelX + 1 58182 KachelY 38849 -0.35252796 1.02805525 -20.198364 58.903227
    Unten links KachelX 58181 KachelY + 1 38850 -0.35257590 1.02803049 -20.201111 58.901808
    Unten rechts KachelX + 1 58182 KachelY + 1 38850 -0.35252796 1.02803049 -20.198364 58.901808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02805525-1.02803049) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dl = 157.745960000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02805525-1.02803049) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dr = 157.745960000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35257590--0.35252796) × cos(1.02805525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.516485102592594 × 6371000     		do = 157.747844658398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35257590--0.35252796) × cos(1.02803049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51650630432756 × 6371000     		du = 157.754320213989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02805525)-sin(1.02803049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516485102592594-0.51650630432756)×R²
    abs(-0.35252796--0.35257590)×2.12017349657811e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12017349657811e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12017349657811e-05×40589641000000     		ar = 24884.5959411473m²