Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58181 / 38629
↖ ↑ ↗
← N 59.213906°
W 20.201111°		 ← 156.33 m → N 59.213906°
W 20.198364°		 →
↑
156.34 m
↓
↑
156.34 m
↓
N 59.212500°
W 20.201111°		 ← 156.33 m →
24 441 m²		 N 59.212500°
W 20.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443889617919922 y=0.294719696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443889617919922 × 217)
    floor (0.443889617919922 × 131072)
    floor (58181.5)     		tx = 58181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294719696044922 × 217)
    floor (0.294719696044922 × 131072)
    floor (38629.5)     		ty = 38629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58181 / 38629 ti = "17/58181/38629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58181/38629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58181 ÷ 217
    58181 ÷ 131072     		x = 0.443885803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38629 ÷ 217
    38629 ÷ 131072     		y = 0.294715881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443885803222656 × 2 - 1) × π
    -0.112228393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35257590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294715881347656 × 2 - 1) × π
    0.410568237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.28983815807685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35257590} λ = -0.35257590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28983815807685))-π/2
    2×atan(3.63219866616411)-π/2
    2×1.30213697318755-π/2
    2.6042739463751-1.57079632675     		φ = 1.03347762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35257590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.201111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03347762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.213906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58181 KachelY 38629 -0.35257590 1.03347762 -20.201111 59.213906
    Oben rechts KachelX + 1 58182 KachelY 38629 -0.35252796 1.03347762 -20.198364 59.213906
    Unten links KachelX 58181 KachelY + 1 38630 -0.35257590 1.03345308 -20.201111 59.212500
    Unten rechts KachelX + 1 58182 KachelY + 1 38630 -0.35252796 1.03345308 -20.198364 59.212500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03347762-1.03345308) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dl = 156.344340000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03347762-1.03345308) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dr = 156.344340000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35257590--0.35252796) × cos(1.03347762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511834377803064 × 6371000     		do = 156.327393598019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35257590--0.35252796) × cos(1.03345308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511855459573885 × 6371000     		du = 156.333832513472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03347762)-sin(1.03345308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511834377803064-0.511855459573885)×R²
    abs(-0.35252796--0.35257590)×2.10817708214961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10817708214961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10817708214961e-05×40589641000000     		ar = 24441.4065211681m²