Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58180 / 38850
↖ ↑ ↗
← N 58.901808°
W 20.203857°		 ← 157.72 m → N 58.901808°
W 20.201111°		 →
↑
157.75 m
↓
↑
157.75 m
↓
N 58.900390°
W 20.203857°		 ← 157.73 m →
24 880 m²		 N 58.900390°
W 20.201111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443881988525391 y=0.296405792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443881988525391 × 217)
    floor (0.443881988525391 × 131072)
    floor (58180.5)     		tx = 58180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296405792236328 × 217)
    floor (0.296405792236328 × 131072)
    floor (38850.5)     		ty = 38850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58180 / 38850 ti = "17/58180/38850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58180/38850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58180 ÷ 217
    58180 ÷ 131072     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38850 ÷ 217
    38850 ÷ 131072     		y = 0.296401977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296401977539062 × 2 - 1) × π
    0.407196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27924410326082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27924410326082))-π/2
    2×atan(3.59392206459365)-π/2
    2×1.29941341081286-π/2
    2.59882682162573-1.57079632675     		φ = 1.02803049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02803049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.901808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58180 KachelY 38850 -0.35262383 1.02803049 -20.203857 58.901808
    Oben rechts KachelX + 1 58181 KachelY 38850 -0.35257590 1.02803049 -20.201111 58.901808
    Unten links KachelX 58180 KachelY + 1 38851 -0.35262383 1.02800573 -20.203857 58.900390
    Unten rechts KachelX + 1 58181 KachelY + 1 38851 -0.35257590 1.02800573 -20.201111 58.900390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02803049-1.02800573) × R
    2.4759999999846e-05 × 6371000     		dl = 157.745959999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02803049-1.02800573) × R
    2.4759999999846e-05 × 6371000     		dr = 157.745959999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(1.02803049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.51650630432756 × 6371000     		do = 157.721413597358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(1.02800573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516527505745878 × 6371000     		du = 157.727887705494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02803049)-sin(1.02800573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51650630432756-0.516527505745878)×R²
    abs(-0.35257590--0.35262383)×2.1201418317518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1201418317518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1201418317518e-05×40589641000000     		ar = 24880.4264337558m²