Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58180 / 38630
↖ ↑ ↗
← N 59.212500°
W 20.203857°		 ← 156.30 m → N 59.212500°
W 20.201111°		 →
↑
156.28 m
↓
↑
156.28 m
↓
N 59.211094°
W 20.203857°		 ← 156.31 m →
24 427 m²		 N 59.211094°
W 20.201111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443881988525391 y=0.294727325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443881988525391 × 217)
    floor (0.443881988525391 × 131072)
    floor (58180.5)     		tx = 58180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294727325439453 × 217)
    floor (0.294727325439453 × 131072)
    floor (38630.5)     		ty = 38630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58180 / 38630 ti = "17/58180/38630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58180/38630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58180 ÷ 217
    58180 ÷ 131072     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38630 ÷ 217
    38630 ÷ 131072     		y = 0.294723510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294723510742188 × 2 - 1) × π
    0.410552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28979022117723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28979022117723))-π/2
    2×atan(3.63202455399448)-π/2
    2×1.30212470505834-π/2
    2.60424941011667-1.57079632675     		φ = 1.03345308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03345308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.212500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58180 KachelY 38630 -0.35262383 1.03345308 -20.203857 59.212500
    Oben rechts KachelX + 1 58181 KachelY 38630 -0.35257590 1.03345308 -20.201111 59.212500
    Unten links KachelX 58180 KachelY + 1 38631 -0.35262383 1.03342855 -20.203857 59.211094
    Unten rechts KachelX + 1 58181 KachelY + 1 38631 -0.35257590 1.03342855 -20.201111 59.211094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03345308-1.03342855) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dl = 156.280629999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03345308-1.03342855) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dr = 156.280629999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(1.03345308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511855459573885 × 6371000     		do = 156.30122220216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(1.03342855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511876532445871 × 6371000     		du = 156.307657057128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03345308)-sin(1.03342855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511855459573885-0.511876532445871)×R²
    abs(-0.35257590--0.35262383)×2.10728719858277e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10728719858277e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10728719858277e-05×40589641000000     		ar = 24427.3562983433m²