Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58179 / 85820
↖ ↑ ↗
← S 48.567520°
W 20.206604°		 ← 202.11 m → S 48.567520°
W 20.203857°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
S 48.569338°
W 20.206604°		 ← 202.10 m →
40 844 m²		 S 48.569338°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443874359130859 y=0.654758453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443874359130859 × 217)
    floor (0.443874359130859 × 131072)
    floor (58179.5)     		tx = 58179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654758453369141 × 217)
    floor (0.654758453369141 × 131072)
    floor (85820.5)     		ty = 85820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58179 / 85820 ti = "17/58179/85820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58179/85820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58179 ÷ 217
    58179 ÷ 131072     		x = 0.443870544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85820 ÷ 217
    85820 ÷ 131072     		y = 0.654754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443870544433594 × 2 - 1) × π
    -0.112258911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35267177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.30950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.972352071893219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35267177} λ = -0.35267177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972352071893219))-π/2
    2×atan(0.378192455312232)-π/2
    2×0.36156659337958-π/2
    0.72313318675916-1.57079632675     		φ = -0.84766314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35267177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.206604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84766314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.567520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58179 KachelY 85820 -0.35267177 -0.84766314 -20.206604 -48.567520
    Oben rechts KachelX + 1 58180 KachelY 85820 -0.35262383 -0.84766314 -20.203857 -48.567520
    Unten links KachelX 58179 KachelY + 1 85821 -0.35267177 -0.84769486 -20.206604 -48.569338
    Unten rechts KachelX + 1 58180 KachelY + 1 85821 -0.35262383 -0.84769486 -20.203857 -48.569338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84766314--0.84769486) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84766314--0.84769486) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35267177--0.35262383) × cos(-0.84766314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661736979359643 × 6371000     		do = 202.111506606151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35267177--0.35262383) × cos(-0.84769486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661713197398696 × 6371000     		du = 202.10424298313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84766314)-sin(-0.84769486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661736979359643-0.661713197398696)×R²
    abs(-0.35262383--0.35267177)×2.37819609471002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37819609471002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37819609471002e-05×40589641000000     		ar = 40843.60045787m²