Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58179 / 38412
↖ ↑ ↗
← N 59.517603°
W 20.206604°		 ← 154.93 m → N 59.517603°
W 20.203857°		 →
↑
154.88 m
↓
↑
154.88 m
↓
N 59.516210°
W 20.206604°		 ← 154.94 m →
23 997 m²		 N 59.516210°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443874359130859 y=0.293064117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443874359130859 × 217)
    floor (0.443874359130859 × 131072)
    floor (58179.5)     		tx = 58179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293064117431641 × 217)
    floor (0.293064117431641 × 131072)
    floor (38412.5)     		ty = 38412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58179 / 38412 ti = "17/58179/38412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58179/38412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58179 ÷ 217
    58179 ÷ 131072     		x = 0.443870544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38412 ÷ 217
    38412 ÷ 131072     		y = 0.293060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443870544433594 × 2 - 1) × π
    -0.112258911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35267177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293060302734375 × 2 - 1) × π
    0.41387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3002404652944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35267177} λ = -0.35267177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3002404652944))-π/2
    2×atan(3.67017911221707)-π/2
    2×1.30478723032486-π/2
    2.60957446064972-1.57079632675     		φ = 1.03877813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35267177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.206604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03877813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.517603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58179 KachelY 38412 -0.35267177 1.03877813 -20.206604 59.517603
    Oben rechts KachelX + 1 58180 KachelY 38412 -0.35262383 1.03877813 -20.203857 59.517603
    Unten links KachelX 58179 KachelY + 1 38413 -0.35267177 1.03875382 -20.206604 59.516210
    Unten rechts KachelX + 1 58180 KachelY + 1 38413 -0.35262383 1.03875382 -20.203857 59.516210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03877813-1.03875382) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dl = 154.879010000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03877813-1.03875382) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dr = 154.879010000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35267177--0.35262383) × cos(1.03877813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507273624938875 × 6371000     		do = 154.934422279337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35267177--0.35262383) × cos(1.03875382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507294574783503 × 6371000     		du = 154.940820901135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03877813)-sin(1.03875382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507273624938875-0.507294574783503)×R²
    abs(-0.35262383--0.35267177)×2.09498446284151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09498446284151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09498446284151e-05×40589641000000     		ar = 23996.5854450318m²