Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58178 / 85890
↖ ↑ ↗
← S 48.694586°
W 20.209351°		 ← 201.60 m → S 48.694586°
W 20.206604°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.696399°
W 20.209351°		 ← 201.60 m →
40 638 m²		 S 48.696399°
W 20.206604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443866729736328 y=0.655292510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443866729736328 × 217)
    floor (0.443866729736328 × 131072)
    floor (58178.5)     		tx = 58178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655292510986328 × 217)
    floor (0.655292510986328 × 131072)
    floor (85890.5)     		ty = 85890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58178 / 85890 ti = "17/58178/85890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58178/85890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58178 ÷ 217
    58178 ÷ 131072     		x = 0.443862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85890 ÷ 217
    85890 ÷ 131072     		y = 0.655288696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443862915039062 × 2 - 1) × π
    -0.112274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35271971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655288696289062 × 2 - 1) × π
    -0.310577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975707654866623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35271971} λ = -0.35271971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975707654866623))-π/2
    2×atan(0.376925525980559)-π/2
    2×0.360457733041037-π/2
    0.720915466082075-1.57079632675     		φ = -0.84988086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35271971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.209351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84988086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.694586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58178 KachelY 85890 -0.35271971 -0.84988086 -20.209351 -48.694586
    Oben rechts KachelX + 1 58179 KachelY 85890 -0.35267177 -0.84988086 -20.206604 -48.694586
    Unten links KachelX 58178 KachelY + 1 85891 -0.35271971 -0.84991250 -20.209351 -48.696399
    Unten rechts KachelX + 1 58179 KachelY + 1 85891 -0.35267177 -0.84991250 -20.206604 -48.696399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84988086--0.84991250) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84988086--0.84991250) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35271971--0.35267177) × cos(-0.84988086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		do = 201.603177197788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35271971--0.35267177) × cos(-0.84991250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66004888039385 × 6371000     		du = 201.595917730564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84988086)-sin(-0.84991250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660072648748226-0.66004888039385)×R²
    abs(-0.35267177--0.35271971)×2.37683543763412e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37683543763412e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37683543763412e-05×40589641000000     		ar = 40638.1222858454m²