Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58177 / 85821
↖ ↑ ↗
← S 48.569338°
W 20.212097°		 ← 202.06 m → S 48.569338°
W 20.209351°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
S 48.571155°
W 20.212097°		 ← 202.05 m →
40 834 m²		 S 48.571155°
W 20.209351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443859100341797 y=0.654766082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443859100341797 × 217)
    floor (0.443859100341797 × 131072)
    floor (58177.5)     		tx = 58177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654766082763672 × 217)
    floor (0.654766082763672 × 131072)
    floor (85821.5)     		ty = 85821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58177 / 85821 ti = "17/58177/85821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58177/85821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58177 ÷ 217
    58177 ÷ 131072     		x = 0.443855285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85821 ÷ 217
    85821 ÷ 131072     		y = 0.654762268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443855285644531 × 2 - 1) × π
    -0.112289428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35276764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654762268066406 × 2 - 1) × π
    -0.309524536132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.972400008792839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35276764} λ = -0.35276764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972400008792839))-π/2
    2×atan(0.378174326372991)-π/2
    2×0.361550732855022-π/2
    0.723101465710044-1.57079632675     		φ = -0.84769486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35276764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.212097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84769486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.569338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58177 KachelY 85821 -0.35276764 -0.84769486 -20.212097 -48.569338
    Oben rechts KachelX + 1 58178 KachelY 85821 -0.35271971 -0.84769486 -20.209351 -48.569338
    Unten links KachelX 58177 KachelY + 1 85822 -0.35276764 -0.84772658 -20.212097 -48.571155
    Unten rechts KachelX + 1 58178 KachelY + 1 85822 -0.35271971 -0.84772658 -20.209351 -48.571155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84769486--0.84772658) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84769486--0.84772658) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35276764--0.35271971) × cos(-0.84769486) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661713197398696 × 6371000     		do = 202.062085235346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35276764--0.35271971) × cos(-0.84772658) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661689414771961 × 6371000     		du = 202.054822924168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84769486)-sin(-0.84772658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661713197398696-0.661689414771961)×R²
    abs(-0.35271971--0.35276764)×2.37826267354135e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37826267354135e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37826267354135e-05×40589641000000     		ar = 40833.613118548m²