Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58176 / 44352
↖ ↑ ↗
← N 50.176898°
W 20.214844°		 ← 195.60 m → N 50.176898°
W 20.212097°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.175139°
W 20.214844°		 ← 195.61 m →
38 258 m²		 N 50.175139°
W 20.212097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443851470947266 y=0.338382720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443851470947266 × 217)
    floor (0.443851470947266 × 131072)
    floor (58176.5)     		tx = 58176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338382720947266 × 217)
    floor (0.338382720947266 × 131072)
    floor (44352.5)     		ty = 44352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58176 / 44352 ti = "17/58176/44352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58176/44352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58176 ÷ 217
    58176 ÷ 131072     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44352 ÷ 217
    44352 ÷ 131072     		y = 0.33837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33837890625 × 2 - 1) × π
    0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01549528155127))-π/2
    2×atan(2.76073039765732)-π/2
    2×1.22327420372149-π/2
    2.44654840744299-1.57079632675     		φ = 0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58176 KachelY 44352 -0.35281558 0.87575208 -20.214844 50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 58177 KachelY 44352 -0.35276764 0.87575208 -20.212097 50.176898
    Unten links KachelX 58176 KachelY + 1 44353 -0.35281558 0.87572138 -20.214844 50.175139
    Unten rechts KachelX + 1 58177 KachelY + 1 44353 -0.35276764 0.87572138 -20.212097 50.175139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87575208-0.87572138) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87575208-0.87572138) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35276764) × cos(0.87575208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 195.600576124928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35276764) × cos(0.87572138) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640443000895821 × 6371000     		du = 195.607777476525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87575208)-sin(0.87572138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.640443000895821)×R²
    abs(-0.35276764--0.35281558)×2.35780769392013e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35780769392013e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35780769392013e-05×40589641000000     		ar = 38258.1622621088m²