Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58176 / 28097
↖ ↑ ↗
← N 71.130099°
W 20.214844°		 ← 98.78 m → N 71.130099°
W 20.212097°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 71.129211°
W 20.214844°		 ← 98.79 m →
9 755 m²		 N 71.129211°
W 20.212097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443851470947266 y=0.214366912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443851470947266 × 217)
    floor (0.443851470947266 × 131072)
    floor (58176.5)     		tx = 58176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214366912841797 × 217)
    floor (0.214366912841797 × 131072)
    floor (28097.5)     		ty = 28097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58176 / 28097 ti = "17/58176/28097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58176/28097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58176 ÷ 217
    58176 ÷ 131072     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28097 ÷ 217
    28097 ÷ 131072     		y = 0.214363098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214363098144531 × 2 - 1) × π
    0.571273803710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79470958487528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79470958487528))-π/2
    2×atan(6.0177268291247)-π/2
    2×1.40612537954056-π/2
    2.81225075908111-1.57079632675     		φ = 1.24145443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24145443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.130099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58176 KachelY 28097 -0.35281558 1.24145443 -20.214844 71.130099
    Oben rechts KachelX + 1 58177 KachelY 28097 -0.35276764 1.24145443 -20.212097 71.130099
    Unten links KachelX 58176 KachelY + 1 28098 -0.35281558 1.24143893 -20.214844 71.129211
    Unten rechts KachelX + 1 58177 KachelY + 1 28098 -0.35276764 1.24143893 -20.212097 71.129211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24145443-1.24143893) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24145443-1.24143893) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35276764) × cos(1.24145443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.323420364769882 × 6371000     		do = 98.7809042409608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35276764) × cos(1.24143893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.323435031689613 × 6371000     		du = 98.7853838957731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24145443)-sin(1.24143893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323420364769882-0.323435031689613)×R²
    abs(-0.35276764--0.35281558)×1.46669197309546e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.46669197309546e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.46669197309546e-05×40589641000000     		ar = 9754.88486851934m²