Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58175 / 85823
↖ ↑ ↗
← S 48.572973°
W 20.217590°		 ← 202.09 m → S 48.572973°
W 20.214844°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
S 48.574790°
W 20.217590°		 ← 202.08 m →
40 839 m²		 S 48.574790°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443843841552734 y=0.654781341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443843841552734 × 217)
    floor (0.443843841552734 × 131072)
    floor (58175.5)     		tx = 58175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654781341552734 × 217)
    floor (0.654781341552734 × 131072)
    floor (85823.5)     		ty = 85823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58175 / 85823 ti = "17/58175/85823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58175/85823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58175 ÷ 217
    58175 ÷ 131072     		x = 0.443840026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85823 ÷ 217
    85823 ÷ 131072     		y = 0.654777526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443840026855469 × 2 - 1) × π
    -0.112319946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35286352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654777526855469 × 2 - 1) × π
    -0.309555053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.972495882592079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35286352} λ = -0.35286352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972495882592079))-π/2
    2×atan(0.378138071101539)-π/2
    2×0.361519013516-π/2
    0.723038027032001-1.57079632675     		φ = -0.84775830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35286352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.217590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84775830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.572973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58175 KachelY 85823 -0.35286352 -0.84775830 -20.217590 -48.572973
    Oben rechts KachelX + 1 58176 KachelY 85823 -0.35281558 -0.84775830 -20.214844 -48.572973
    Unten links KachelX 58175 KachelY + 1 85824 -0.35286352 -0.84779002 -20.217590 -48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 58176 KachelY + 1 85824 -0.35281558 -0.84779002 -20.214844 -48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84775830--0.84779002) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84775830--0.84779002) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35286352--0.35281558) × cos(-0.84775830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661665631479461 × 6371000     		do = 202.089715127049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35286352--0.35281558) × cos(-0.84779002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 202.082450894004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84775830)-sin(-0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661665631479461-0.661641847521221)×R²
    abs(-0.35281558--0.35286352)×2.37839582402088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37839582402088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37839582402088e-05×40589641000000     		ar = 40839.1965972266m²