Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58175 / 38666
↖ ↑ ↗
← N 59.161851°
W 20.217590°		 ← 156.57 m → N 59.161851°
W 20.214844°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.160444°
W 20.217590°		 ← 156.57 m →
24 509 m²		 N 59.160444°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443843841552734 y=0.295001983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443843841552734 × 217)
    floor (0.443843841552734 × 131072)
    floor (58175.5)     		tx = 58175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295001983642578 × 217)
    floor (0.295001983642578 × 131072)
    floor (38666.5)     		ty = 38666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58175 / 38666 ti = "17/58175/38666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58175/38666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58175 ÷ 217
    58175 ÷ 131072     		x = 0.443840026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38666 ÷ 217
    38666 ÷ 131072     		y = 0.294998168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443840026855469 × 2 - 1) × π
    -0.112319946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35286352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294998168945312 × 2 - 1) × π
    0.410003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28806449279091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35286352} λ = -0.35286352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28806449279091))-π/2
    2×atan(3.62576207134808)-π/2
    2×1.30168271582124-π/2
    2.60336543164247-1.57079632675     		φ = 1.03256910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35286352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.217590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03256910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.161851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58175 KachelY 38666 -0.35286352 1.03256910 -20.217590 59.161851
    Oben rechts KachelX + 1 58176 KachelY 38666 -0.35281558 1.03256910 -20.214844 59.161851
    Unten links KachelX 58175 KachelY + 1 38667 -0.35286352 1.03254453 -20.217590 59.160444
    Unten rechts KachelX + 1 58176 KachelY + 1 38667 -0.35281558 1.03254453 -20.214844 59.160444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03256910-1.03254453) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dl = 156.535469999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03256910-1.03254453) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dr = 156.535469999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35286352--0.35281558) × cos(1.03256910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512614661587674 × 6371000     		do = 156.565712350162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35286352--0.35281558) × cos(1.03254453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512635757696358 × 6371000     		du = 156.572155644768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03256910)-sin(1.03254453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512614661587674-0.512635757696358)×R²
    abs(-0.35281558--0.35286352)×2.1096108684282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1096108684282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1096108684282e-05×40589641000000     		ar = 24508.5916716561m²