Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58174 / 38667
↖ ↑ ↗
← N 59.160444°
W 20.220337°		 ← 156.57 m → N 59.160444°
W 20.217590°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.159036°
W 20.220337°		 ← 156.58 m →
24 510 m²		 N 59.159036°
W 20.217590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443836212158203 y=0.295009613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443836212158203 × 217)
    floor (0.443836212158203 × 131072)
    floor (58174.5)     		tx = 58174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295009613037109 × 217)
    floor (0.295009613037109 × 131072)
    floor (38667.5)     		ty = 38667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58174 / 38667 ti = "17/58174/38667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58174/38667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58174 ÷ 217
    58174 ÷ 131072     		x = 0.443832397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38667 ÷ 217
    38667 ÷ 131072     		y = 0.295005798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443832397460938 × 2 - 1) × π
    -0.112335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35291146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295005798339844 × 2 - 1) × π
    0.409988403320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28801655589129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35291146} λ = -0.35291146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28801655589129))-π/2
    2×atan(3.62558826772146)-π/2
    2×1.30167042898969-π/2
    2.60334085797938-1.57079632675     		φ = 1.03254453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35291146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.220337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03254453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.160444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58174 KachelY 38667 -0.35291146 1.03254453 -20.220337 59.160444
    Oben rechts KachelX + 1 58175 KachelY 38667 -0.35286352 1.03254453 -20.217590 59.160444
    Unten links KachelX 58174 KachelY + 1 38668 -0.35291146 1.03251996 -20.220337 59.159036
    Unten rechts KachelX + 1 58175 KachelY + 1 38668 -0.35286352 1.03251996 -20.217590 59.159036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03254453-1.03251996) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dl = 156.535470000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03254453-1.03251996) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dr = 156.535470000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35291146--0.35286352) × cos(1.03254453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512635757696358 × 6371000     		do = 156.57215564495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35291146--0.35286352) × cos(1.03251996) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512656853495572 × 6371000     		du = 156.578598845035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03254453)-sin(1.03251996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512635757696358-0.512656853495572)×R²
    abs(-0.35286352--0.35291146)×2.10957992140548e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10957992140548e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10957992140548e-05×40589641000000     		ar = 24509.6002688964m²