Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58173 / 38665
↖ ↑ ↗
← N 59.163260°
W 20.223083°		 ← 156.53 m → N 59.163260°
W 20.220337°		 →
↑
156.60 m
↓
↑
156.60 m
↓
N 59.161851°
W 20.223083°		 ← 156.53 m →
24 512 m²		 N 59.161851°
W 20.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443828582763672 y=0.294994354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443828582763672 × 217)
    floor (0.443828582763672 × 131072)
    floor (58173.5)     		tx = 58173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294994354248047 × 217)
    floor (0.294994354248047 × 131072)
    floor (38665.5)     		ty = 38665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58173 / 38665 ti = "17/58173/38665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58173/38665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58173 ÷ 217
    58173 ÷ 131072     		x = 0.443824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38665 ÷ 217
    38665 ÷ 131072     		y = 0.294990539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443824768066406 × 2 - 1) × π
    -0.112350463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35295939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294990539550781 × 2 - 1) × π
    0.410018920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28811242969053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35295939} λ = -0.35295939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28811242969053))-π/2
    2×atan(3.62593588330651)-π/2
    2×1.30169500214707-π/2
    2.60339000429414-1.57079632675     		φ = 1.03259368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35295939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.223083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03259368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.163260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58173 KachelY 38665 -0.35295939 1.03259368 -20.223083 59.163260
    Oben rechts KachelX + 1 58174 KachelY 38665 -0.35291146 1.03259368 -20.220337 59.163260
    Unten links KachelX 58173 KachelY + 1 38666 -0.35295939 1.03256910 -20.223083 59.161851
    Unten rechts KachelX + 1 58174 KachelY + 1 38666 -0.35291146 1.03256910 -20.220337 59.161851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03259368-1.03256910) × R
    2.45800000000518e-05 × 6371000     		dl = 156.59918000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03259368-1.03256910) × R
    2.45800000000518e-05 × 6371000     		dr = 156.59918000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.03259368) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512593556583218 × 6371000     		do = 156.526609003086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.03256910) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512614661587674 × 6371000     		du = 156.53305367009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03259368)-sin(1.03256910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512593556583218-0.512614661587674)×R²
    abs(-0.35291146--0.35295939)×2.11050044559569e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11050044559569e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11050044559569e-05×40589641000000     		ar = 24512.4432342366m²