Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58173 / 28223
↖ ↑ ↗
← N 71.017853°
W 20.223083°		 ← 99.33 m → N 71.017853°
W 20.220337°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
N 71.016960°
W 20.223083°		 ← 99.33 m →
9 872 m²		 N 71.016960°
W 20.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443828582763672 y=0.215328216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443828582763672 × 217)
    floor (0.443828582763672 × 131072)
    floor (58173.5)     		tx = 58173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215328216552734 × 217)
    floor (0.215328216552734 × 131072)
    floor (28223.5)     		ty = 28223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58173 / 28223 ti = "17/58173/28223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58173/28223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58173 ÷ 217
    58173 ÷ 131072     		x = 0.443824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28223 ÷ 217
    28223 ÷ 131072     		y = 0.215324401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443824768066406 × 2 - 1) × π
    -0.112350463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35295939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215324401855469 × 2 - 1) × π
    0.569351196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.78866953552316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35295939} λ = -0.35295939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78866953552316))-π/2
    2×atan(5.98148901136255)-π/2
    2×1.40514584612812-π/2
    2.81029169225624-1.57079632675     		φ = 1.23949537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35295939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.223083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23949537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.017853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58173 KachelY 28223 -0.35295939 1.23949537 -20.223083 71.017853
    Oben rechts KachelX + 1 58174 KachelY 28223 -0.35291146 1.23949537 -20.220337 71.017853
    Unten links KachelX 58173 KachelY + 1 28224 -0.35295939 1.23947977 -20.223083 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 58174 KachelY + 1 28224 -0.35291146 1.23947977 -20.220337 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23949537-1.23947977) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23949537-1.23947977) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.23949537) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.325273514043243 × 6371000     		do = 99.3261805534239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.23947977) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 99.3306851417363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23949537)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325273514043243-0.325288265675305)×R²
    abs(-0.35291146--0.35295939)×1.47516320626595e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.47516320626595e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.47516320626595e-05×40589641000000     		ar = 9872.01455268469m²