Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58173 / 28222
↖ ↑ ↗
← N 71.018747°
W 20.223083°		 ← 99.32 m → N 71.018747°
W 20.220337°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.017853°
W 20.223083°		 ← 99.33 m →
9 865 m²		 N 71.017853°
W 20.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443828582763672 y=0.215320587158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443828582763672 × 217)
    floor (0.443828582763672 × 131072)
    floor (58173.5)     		tx = 58173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215320587158203 × 217)
    floor (0.215320587158203 × 131072)
    floor (28222.5)     		ty = 28222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58173 / 28222 ti = "17/58173/28222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58173/28222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58173 ÷ 217
    58173 ÷ 131072     		x = 0.443824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28222 ÷ 217
    28222 ÷ 131072     		y = 0.215316772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443824768066406 × 2 - 1) × π
    -0.112350463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35295939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215316772460938 × 2 - 1) × π
    0.569366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78871747242278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35295939} λ = -0.35295939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78871747242278))-π/2
    2×atan(5.98177575227354)-π/2
    2×1.40515364225342-π/2
    2.81030728450684-1.57079632675     		φ = 1.23951096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35295939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.223083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23951096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.018747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58173 KachelY 28222 -0.35295939 1.23951096 -20.223083 71.018747
    Oben rechts KachelX + 1 58174 KachelY 28222 -0.35291146 1.23951096 -20.220337 71.018747
    Unten links KachelX 58173 KachelY + 1 28223 -0.35295939 1.23949537 -20.223083 71.017853
    Unten rechts KachelX + 1 58174 KachelY + 1 28223 -0.35291146 1.23949537 -20.220337 71.017853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23951096-1.23949537) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23951096-1.23949537) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.23951096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.325258771788272 × 6371000     		do = 99.3216788285192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(1.23949537) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.325273514043243 × 6371000     		du = 99.3261805534239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23951096)-sin(1.23949537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325258771788272-0.325273514043243)×R²
    abs(-0.35291146--0.35295939)×1.47422549707787e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.47422549707787e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.47422549707787e-05×40589641000000     		ar = 9865.23906734226m²