Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58172 / 38622
↖ ↑ ↗
← N 59.223745°
W 20.225830°		 ← 156.28 m → N 59.223745°
W 20.223083°		 →
↑
156.28 m
↓
↑
156.28 m
↓
N 59.222340°
W 20.225830°		 ← 156.29 m →
24 424 m²		 N 59.222340°
W 20.223083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443820953369141 y=0.294666290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443820953369141 × 217)
    floor (0.443820953369141 × 131072)
    floor (58172.5)     		tx = 58172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294666290283203 × 217)
    floor (0.294666290283203 × 131072)
    floor (38622.5)     		ty = 38622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58172 / 38622 ti = "17/58172/38622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58172/38622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58172 ÷ 217
    58172 ÷ 131072     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38622 ÷ 217
    38622 ÷ 131072     		y = 0.294662475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294662475585938 × 2 - 1) × π
    0.410675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29017371637419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29017371637419))-π/2
    2×atan(3.63341768507865)-π/2
    2×1.30222283594681-π/2
    2.60444567189362-1.57079632675     		φ = 1.03364935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03364935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.223745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58172 KachelY 38622 -0.35300733 1.03364935 -20.225830 59.223745
    Oben rechts KachelX + 1 58173 KachelY 38622 -0.35295939 1.03364935 -20.223083 59.223745
    Unten links KachelX 58172 KachelY + 1 38623 -0.35300733 1.03362482 -20.225830 59.222340
    Unten rechts KachelX + 1 58173 KachelY + 1 38623 -0.35295939 1.03362482 -20.223083 59.222340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03364935-1.03362482) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dl = 156.280629999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03364935-1.03362482) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dr = 156.280629999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.03364935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511686839736114 × 6371000     		do = 156.282331674743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.03362482) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511707915072074 × 6371000     		du = 156.288768624824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03364935)-sin(1.03362482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511686839736114-0.511707915072074)×R²
    abs(-0.35295939--0.35300733)×2.10753359602966e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10753359602966e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10753359602966e-05×40589641000000     		ar = 24424.4042385868m²